- Oggetto:
- Oggetto:
Complementi di metodi matematici per la fisica
- Oggetto:
Complements of mathematical methods for physics
- Oggetto:
Anno accademico 2024/2025
- Codice attività didattica
- MFN0779
- Docente
- Andrea Cavaglià (Titolare)
- Corso di studio
- 008510-101 Laurea Magistrale in Fisica ind. Fisica Nucleare e Subnucleare e Biomedica
008510-102 Laurea Magistrale in Fisica ind. Astrofisica e Fisica Teorica
008510-105 Laurea Magistrale in Fisica ind. Fisica del Sistema Meteoclimatico, Generale e delle Tecnologie Avanzate - Anno
- 1° anno
- Periodo
- Primo semestre
- Tipologia
- B=Caratterizzante
- Crediti/Valenza
- 6
- SSD attività didattica
- FIS/02 - fisica teorica, modelli e metodi matematici
- Erogazione
- Tradizionale
- Lingua
- Italiano
- Frequenza
- Facoltativa
- Tipologia esame
- Scritto ed orale
- Prerequisiti
- I corsi di matematica della laurea triennale, in particolare i contenuti di analisi complessa e analisi di Fourier del corso "Metodi Matematici della Fisica - Introduzione".
- Oggetto:
Sommario insegnamento
- Oggetto:
Obiettivi formativi
Questo insegnamento contribuisce agli obiettivi formativi del corso di Laurea Magistrale in Fisica fornendo strumenti matematici avanzati per problemi di fisica teorica, di astrofisica, di fisica nucleare e subnucleare e biomedica e di fisica dell'ambiente e delle tecnologie avanzate.
This teaching module contributes to the educational goals of the M.Sc. degree in Physics by providing advanced mathematical tools for problems in theoretical physics, astrophysics, nuclear, subnuclear and biomedical physics and environment and advanced technology physics.
- Oggetto:
Risultati dell'apprendimento attesi
Conoscenza e comprensione: coerentemente con quanto descritto nell'area di apprendimento in cui l'insegnamento è inserito della Scheda Unica Annuale del Corso di Studi, l'insegnamento concorre all'acquisizione di una approfondita comprensione della fisica alla base dei fenomeni di interesse per gli indirizzi di riferimento e il rafforzamento delle conoscenze acquisite nel primo ciclo, concentrandosi sugli strumenti matematici.
In particolare, al termine dell'insegnamento le studentesse e studenti avranno:
- buona padronanza teorica e pratica degli elementi fondamentali della teoria delle funzioni analitiche, delle principali funzioni speciali e delle loro applicazioni, di metodi analitici per studiare equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali.
- profonda comprensione del comportamento matematico-fisico di alcune equazioni differenziali fondamentali, quali l'equazione delle onde, l'equazione del calore e l'equazione di Laplace
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine dell'insegnamento si richiede di essere in grado di utilizzare tecniche matematiche atte a risolvere problemi tipici dei fenomeni fisici di interesse per gli indirizzi di riferimento.
In particolare:
- risoluzione e comprensione del comportamento di equazioni differenziali ordinarie usando vari metodi analitici
- risoluzione di problemi per equazioni differenziali alle derivate parziali con il metodo delle caratteristiche
- utilizzo del metodo di Fourier e delle sue generalizzazioni per risolvere problemi di bordo o ai valori iniziali per l'equazione delle onde, di Laplace o del calore in varie dimensioni.
Knowledge and comprehension: consistently with the description in the learning section of the Annual Single Sheet of the programme in which the module is included, the course concurs to acquiring a thorough understanding of the physics underlying the phenomena of interest for the relevant curricula, at strengthening the knowledge acquired during the bachelor courses, focusing on the main mathematical tools.
In particular, at the end of the module the student will have:
- a good command of the theory of analytic functions, of the main special functions, of analytical methods to study ordinary differential equations and partial differential equations.
- deep understanding of the mathematical-physical behaviour of some fundamental differential equations, such as the wave equation, the heat equation and the Laplace equation.
Ability to apply knowledge and comprehension: at the end of the course, students are expected to be able to use complex mathematical techniques, suitable for solving typical problems of the physical phenomena of interest for the relevant curricula.
In particular the student will learn to:
- solve or analyze ordinary differential equations with various analytic techniques
- use the method of characteristic curves to solve partial differential equations
- use the Fourier method and its generalisations to solve initial and/or boundary value problems for the wave, heat and Laplace equations.
- Oggetto:
Programma
Introduzione alle funzioni speciali. Equazioni differenziali ordinarie in campo reale e complesso. Equazioni differenziali alle derivate parziali e tecniche di soluzione. Metodi addizionali di analisi complessa e asintotica.
Si prega di fare riferimento alla pagina Moodle per le note del corso ed esempi di esercizi per l'esame scritto.
Studenti e studentesse che avessero gia` seguito il corso negli anni precedenti sono invitati a contattare il docente per informazioni su eventuali cambiamenti nel programma.
Programma dettagliato:
COMPLEMENTI DI ANALISI COMPLESSA
Principio di continuazione analitica. Concetto di punti di diramazione, tagli e fogli di Riemann. Esempi di calcolo di integrali di funzioni con punti di diramazione. Relazione di dispersione di Kramers-Kronig e discussione di alcune loro applicazioni.
FUNZIONI SPECIALI:
Funzione Gamma e Beta di Eulero, relazione con il fattoriale e formula di Stirling. Il concetto di serie asintotica vs serie convergente. Funzione Zeta di Riemann. Funzioni ipergeometriche definite come serie.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE
Alcuni tipi di equazioni esattamente risolubili. Equazioni differenziali lineari, anche inomogenee e metodo di variazione delle costanti.
Metodo della funzione di Green per risolvere equazioni inomogenee. Problemi di bordo. Metodo della funzione di Green per problemi di bordo.
Riepilogo del metodo di espansione in serie per ODE lineari, classificazione dei punti singolari e soluzione intorno a punti regolari e singolari fuchsiani.
Comportamento intorno a punti singolari non fuchsiani e sviluppo asintotico delle soluzioni con metodo dell'equilibrio dominante. Esempio di studio dell'equazione di Airy a infinito.
Introduzione ai metodi perturbativi. Esempio di teoria delle perturbazioni regolare e singolare. Si discutera` di come trattare il fenomeno dei "boundary layers" attraverso la costruzione di un'approssimazione asintotica composita con il metodo dell'incollamento delle due espansioni asintotiche, interna ed esterna al boundary layer. Si discutera` il problema dei termini secolari per problemi perturbativi che coinvolgano termpi lunghi, e come risolverlo attraverso il metodo delle scale multiple (sull'esempio dell'equazione di Duffing).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE PARZIALI
Equazioni alle derivate parziali del 1o ordine: metodo delle caratteristiche per equazioni lineari, quasi lineari, e completamente non lineari. Esempio dell'equazione eikonale.
Studio dell'equazione di Burgers inviscida e fenomeno di formazione degli shock. Metodo per rendere la soluzione a un solo valore (ma con shock discontinui) dopo la formazione della singolarita` con le condizioni di discontinuita` di Rankine-Hugoniot.
Equazioni alle derivate parziali del 2o ordine: cenni alla classificazione delle forme canoniche in D=1.
EQUAZIONE DELLE ONDE: formula di d'Alembert. Metodo delle immagini per problemi di bordo. Problemi di bordo non omogenei e soluzione con il metodo di Fourier. Fenomeno della risonanza. Discussione della soluzione in spazio infinito in varie dimensioni. Discussione delle funzioni di Green e principali proprieta`; commenti sulle consequenze sulla durata dei suoni in varie dimensioni.
Metodo di decomposizione in autofunzioni in dimensione generica. Studio dell’equazione di Helmholtz in coordinate cilindriche e relazione con le funzioni di Bessel. [Non trattato: Coordinate sferiche, armoniche sferiche e funzioni di Bessel sferiche.]
EQUAZIONE DEL CALORE. Derivazione fisica. Soluzione generale in varie dimensioni in spazio infinito e metodi per soluzione con bordi, con esercizi, in particolare con l'uso del metodo di Fourier e sue generalizzazioni in dimensione piu` alta.
EQUAZIONE DI LAPLACE/POISSON. Problemi di bordo e metodo delle funzioni di Green. Soluzioni del caso dello spazio semi-infinito con il metodo delle immagini. Esercizi per soluzioni in geometrie semplici con decomposizione in autofunzioni.
Equazioni di Burgers con viscosita`: soluzione completa e relazione con l'equazione del calore. Ruolo della viscosita` nel regolarizzare gli shock. Analogia con equazioni di Eulero e Navier-Stokes.
Introduction to special functions. Ordinary differential equations. Partial differential equations. Additional analytical and asymptotic techniques. Additional techniques in complex analysis and asymptotics.
Please refer to the Moodle page for the lecture notes and examples of exercises.
Students who already followed the course in previous years are invited to contact the lecturer for information on possible changes in the course contents.
Detailed syllabus:
COMPLEX ANALYSIS COMPLEMENTS:
Principle of analytic continuation. Branch points, branch cuts and Riemann sheets. Solution of integrals of functions with branch cuts using contour deformation. Kramers-Kronig dispersion relations and discussion of some of their applications.
SPECIAL FUNCTIONS
Euler Gamma and Beta functions. Relation between Gamma and the factorial function, Stirling’s formula. Concept of asymptotic expansion vs convergent series. Riemann’s Zeta functions. Generalized Hypergeometric Functions defined as power series.
ODEs
Study of some types of exactly solvable nonlinear ODEs. Linear ODEs, (also inhomogeneous), and method of variation of constants. Green's function method to solve inhomogeneous ODEs. Boundary problems, and Green functions for boundary problems.
Method of power series expansion for 2nd order linear ODEs. Classification of singular points, and solution regular and Fuchsian singular points. Behaviour around non-fuchsian singular points. Method of dominant balance to deduce asymptotic expansions around irregular singular points (example of the Airy function).
Introduction to perturbative methods for ODEs. Example of regular vs singular perturbation theory. We will discuss how to treat "boundary layers" by constructing a composite approximation with the method of asymptotic matching. We will then discuss the problem of "secular terms" for long-time problems, and how to solve it with the method of multiple scale expansion (on the example of the Duffing equation).
PDE
1st order PDEs: Method of Characteristics for linear, quasi-linear, and fully nonlinear equations. Example of the eikonal equation.
Study of inviscid Burgers equation and the phenomenon of shock formation. Method to make the solution single-valued after the shock formation time in a conservation-law type of equations, with the Rankine-Hugoniot discontinuity relations.
lassification of canonical forms of 2nd order PDEs in two variables.
WAVE EQUATION: d'Alembert formula. Method of images for initial-boundary problems. Problems with non homogeneous and time dependent boundary conditions and their solution with Fourier’s method. Phenomenon of resonance. Problem in infinite space in various dimension: comments on Kirchoff’s formula and the duration of sounds in various dimensions.
Eigenfunctions method in generic dimension. Study of Helmoltz equation in cylindrical coordinates and relation with Bessel’s functions. [Not covered this year: Spherical coordinates, spherical harmonics and spherical Bessel functions.]
HEAT EQUATION. Physical derivation. General solution in infinite space in various dimensions and method for solutions of initial/boundary value problems, in particular using Fourier decomposition methods and eigenfunctions methods in higher dimension.
LAPLACE/POISSON EQUATION. Max/min principle. Boundary value problems and the Green’s functions method. Solution for the case of semi-infinite space using the method of images. Exercises on the solution of Laplace/Poisson problems in simple geometries, using the eigenfunctions method.
Burgers equation with viscosity: its explicit solution and relation with heat equation. Role of viscosity to regularise shocks. Comments on the analogy with Navier-Stokes equations vs Euler equations.
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Modalità di insegnamento
Il corso comprende 48 ore di lezioni che verranno tenute in presenza secondo le linee guida del presente anno accademico. Si invita chi avesse necessità di seguire a distanza a contattare il docente.
Le lezioni si svolgeranno il mercoledì e il venerdì in orario 16:00-18:00 in Sala Franzinetti.
Risorse per il corso saranno caricate sulla pagina Moodle seguendo il link in fondo a questa pagina.
Si invitano gli studenti e le studentesse a iscriversi al corso su campusnet, in modo da ricevere tutte le comunicazioni relative.
The course includes 48 hours of lectures, which will be given face-to-face, following this academic year's guidelines. Students who need to follow remotely are invited to contact the lecturer.
The lectures will take place on Wednesdays and Fridays at 16:00-18:00 in the Franzinetti Room.
Course materials will be made available on the Moodle page which is accessible following the link at the bottom of this page.
Students are invited to register to the course on campusnet to receive all communications related to the course.
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Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame comprende una prova scritta consistente in esercizi su equazioni ordinarie e alle derivate parziali, e una prova orale, con la correzione dell'esame scritto e ulteriori domande su tutti i contenuti del corso.
Per accedere all'orale e` necessario avere passato lo scritto con una soglia minima di 17/32 punti. Il voto finale sarà stabilito tenendo conto di entrambe le prove.
Per istruzioni sulla prova d'esame, esempi di esercizi e di domande, si prega di fare riferimento alla piattaforma Moodle in continuo aggiornamento.
Ci saranno 5 appelli (ognuno costituito da scritto+orale): 2 nella sessione invernale, 2 nella sessione estiva e 1 nella sessione di settembre.
Le date e orari degli esami verranno comunicati attraverso la mailing list degli iscritti all'insegnamento su campusnet.
The exam consists of a written test consisting in exercises on ordinary and partial differential equations, and an oral exam, which will contain the written exam's correction and further questions on all the material covered in the course.
The written test must be passed with a score of 17/32 in order to give the oral exam. The final grade will be decided taking into account both written and oral examinations.
For more detailed instructions on the exam, examples of exercises and theoretical questions, please refer to the Moodle page which is updated regularly.
There will be 5 exam calls (each written+oral) during the academic year: 2 in the Winter session, 2 in the June/July session period, and 1 in the September session.
- Oggetto:
Attività di supporto
Esercizi svolti durante le lezioni. Esercizi da svolgere a casa che possono essere discussi in occasione delle lezioni o nel ricevimento. Note del corso, prove di esame e altri materiali sulla pagina Moodle.
Exercises solved in class. Homework exercises which can be discussed in class or by taking appointment. Course notes, exams of previous years and other materials on the Moodle page.
Testi consigliati e bibliografia
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Metodi matematici della fisica
- Anno pubblicazione:
- 2000
- Editore:
- Levrotto e Bella
- Autore:
- Cesare Rossetti
- ISBN
- Note testo:
- Uno dei possibili riferimenti sulla prima parte del corso su analisi complessa e funzioni speciali. Presente in biblioteca.
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Partial Differential Equations: An Introduction With Mathematica and Maple
- Anno pubblicazione:
- 2004
- Editore:
- World Scientific
- Autore:
- Ioannis P. Stavroulakis, Stepan A. Tersian
- ISBN
- Note testo:
- Testo sintetico sulle equazioni differenziali alle derivate parziali, con esercizi. Presente in biblioteca.
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Advanced mathematical methods for scientists and engineers
- Anno pubblicazione:
- 1990
- Editore:
- Springer
- Autore:
- Carl Bender, Steven Orszag
- Capitoli:
- 1,3,9,11
- Note testo:
- Puo` essere usato come riferimento sulle equazioni differenziali ordinarie. Contiene espansione intorno a punti irregolari e metodi perturbativi.
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
- Libro
- Titolo:
- Basic Partial Differential Equations
- Anno pubblicazione:
- 1992
- Editore:
- Kluwer Academic Publishers
- Autore:
- D. Bleecker, C. Csordas
- Note testo:
- Libro molto accessibile e completo sulle equazioni differenziali alle derivate parziali con diversi esercizi. Presente in biblioteca.
- Obbligatorio:
- No
- Oggetto:
Per i contenuti teorici del corso si puo` fare riferimento alle note (attualmente scritte a mano) del corso, che saranno disponibili su Moodle insieme ad alcuni esercizi risolti.
-La parte sulle funzioni speciali e analisi complessa e` inclusa in molti testi di analisi complessa, ad esempio sul libro di C. Rossetti che si puo` usare come riferimento.
-Per la parte sulle equazioni differenziali ordinarie la principale ispirazione del corso e` il libro di Bender e Orszag.
-Per la parte sulle equazioni alle derivate parziali si puo` fare riferimento ai libri di Stavroulakis-Tersian , o di Bleecker, Csordas.
- Oggetto:
Note
Gli/le studenti/esse con DSA o disabilità, sono pregati di prendere visione delle modalità di supporto (https://www.unito.
it/servizi/lo-studio/studenti- e-studentesse-con-disabilita) e di accoglienza (https://www.unito.it/ accoglienza-studenti-con- disabilita-e-dsa) di Ateneo, ed in particolare delle procedure necessarie per il supporto in sede d’esame (https://www.unito.it/servizi/ lo-studio/studenti-e- studentesse-con-disturbi- specifici-di-apprendimento- dsa/supporto) - Oggetto:
Insegnamenti che mutuano questo insegnamento
- Complementi di metodi matematici per la FisicaCorso di laurea magistrale Interateneo in Fisica dei sistemi complessi
- Complementi di metodi matematici per la Fisica
- Oggetto:
Orario lezioni
Giorni Ore Aula Mercoledì 16:00 - 18:00 Sala Franzinetti Dipartimento di Fisica Venerdì 16:00 - 18:00 Sala Franzinetti Dipartimento di Fisica Lezioni: dal 27/09/2024 al 10/01/2025
- Registrazione
- Aperta
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